2. انحراف متوسط و استاندارد

میانه به عنوان اندازه گیری مکان شناخته می شود. یعنی به ما می گوید داده ها کجا هستند. همانطور که گفته شد ، ما نیازی به دانستن تمام مقادیر دقیق برای محاسبه مدیان نداریم. اگر ما کوچکترین مقدار را حتی کوچکتر یا بزرگترین مقدار حتی بزرگتر کنیم ، ارزش مدیان را تغییر نمی دهد. بنابراین میانه از تمام اطلاعات موجود در داده ها استفاده نمی کند و بنابراین می توان نشان داد که از میانگین یا میانگین کارآمدتر است ، که از تمام مقادیر داده ها استفاده می کند. برای محاسبه میانگین مقادیر مشاهده شده را اضافه می کنیم و بر اساس تعداد آنها تقسیم می شویم. کل مقادیر به دست آمده در جدول 1. 1 22. 5 بود که براساس تعداد آنها ، 15 تقسیم شده بود تا میانگین 1. 5 باشد. این فرایند آشنا به راحتی توسط نمادهای زیر بیان می شود:

(تلفظ "X بار") میانگین را نشان می دهد. x هر یک از مقادیر سرب ادرار است. n تعداد این مقادیر است ؛و σ ، پایتخت یونان سیگما ("S" ما) "جمع" را نشان می دهد. یک نقطه ضعف اصلی میانگین این است که نسبت به نقاط دور افتاده حساس است. به عنوان مثال ، تعویض 2. 2 در 22 در جدول 1. 1 میانگین را به 2. 82 افزایش می دهد ، در حالی که میانه بدون تغییر خواهد بود.

و همچنین اقدامات مکان ، ما نیاز به اقداماتی برای نحوه متغیر بودن داده ها داریم. ما در فصل 1 دو مورد از این اقدامات ، دامنه و دامنه بین قشر را ملاقات کردیم.

دامنه یک اندازه گیری مهم است ، برای شکل های موجود در بالا و پایین آن ، یافته های دورترین حذف شده از کلیت را نشان می دهد. با این حال ، آنها نشانگر زیادی از گسترش مشاهدات در مورد میانگین نیستند. اینجاست که انحراف استاندارد (SD) وارد می شود.

مبنای نظری انحراف استاندارد پیچیده است و نیازی به مشکل برای کاربر معمولی ندارد. ما در مورد نمونه گیری و جمعیت در فصل 3 بحث خواهیم کرد. نکته عملی که باید در اینجا توجه داشته باشیم این است که ، وقتی جمعیتی که داده ها از آن بوجود می آیند توزیع تقریباً "طبیعی" (یا گاوسی) دارند ، پس انحراف استاندارد پایه ای مفید برای آن فراهم می کندتفسیر داده ها از نظر احتمال.

توزیع عادی توسط خانواده ای از منحنی های تعریف شده توسط دو پارامتر ، که میانگین و انحراف استاندارد جمعیت است ، نشان داده شده است. منحنی ها همیشه به صورت متقارن به شکل زنگ هستند ، اما میزان فشرده شدن یا صاف شدن زنگ بستگی به انحراف استاندارد جمعیت دارد. با این حال ، صرف این واقعیت که یک منحنی به شکل زنگ است ، به معنای توزیع عادی نیست ، زیرا توزیع های دیگر ممکن است نوع مشابهی داشته باشند.

بسیاری از خصوصیات بیولوژیکی با توزیع عادی به اندازه کافی از نزدیک برای استفاده از آن مطابقت دارند - به عنوان مثال ، ارتفاعات مردان و زنان بالغ ، فشار خون در یک جمعیت سالم ، خطاهای تصادفی در بسیاری از انواع اندازه گیری های آزمایشگاهی و داده های بیوشیمیایی. شکل 2. 1 منحنی طبیعی را نشان می دهد که از فشار خون دیاستولیک 500 مرد ، میانگین 82 میلی متر جیوه ، انحراف استاندارد 10 میلی متر جیوه محاسبه می شود. دامنه های نشان دهنده [ +-1SD ، +12SD و +-3SD] در مورد میانگین مشخص شده است. مجموعه گسترده تری از مقادیر در جدول A از نسخه چاپ آورده شده است.

دلیل اینکه انحراف استاندارد چنین اندازه گیری مفیدی از پراکندگی مشاهدات است ، این است: اگر مشاهدات از توزیع عادی پیروی کنند ، دامنه ای که توسط یک انحراف استاندارد بالاتر از میانگین و یک انحراف استاندارد در زیر آن قرار دارد

شامل حدود 68 ٪ از مشاهدات است. طیف وسیعی از دو انحراف استاندارد در بالا و دو زیر () حدود 95 ٪ از مشاهدات. و از سه انحراف استاندارد در بالا و سه زیر () حدود 99. 7 ٪ از مشاهدات. در نتیجه ، اگر میانگین و انحراف استاندارد مجموعه ای از مشاهدات را بدانیم ، می توانیم با حساب ساده ، اطلاعات مفیدی را بدست آوریم. با قرار دادن یک ، دو یا سه انحراف استاندارد در بالا و پایین تر از میانگین می توانیم دامنه هایی را که انتظار می رود حدود 68 ٪ ، 95 ٪ و 99. 7 ٪ از مشاهدات را تخمین بزنیم ، تخمین بزنیم.

انحراف استاندارد از داده های غیر گروهی

انحراف استاندارد یک اندازه گیری خلاصه از تفاوت هر مشاهده از میانگین است. اگر اختلافات به خود اضافه شود ، مثبت دقیقاً منفی را متعادل می کند و بنابراین مبلغ آنها صفر خواهد بود. در نتیجه مربع اختلافات اضافه می شود. جمع مربع ها سپس با تعداد مشاهدات منهای Oneto میانگین مربع ها را تقسیم می کنند و ریشه مربع برای بازگرداندن اندازه گیری ها به واحدهایی که با آنها شروع کردیم ، گرفته می شود.(تقسیم بر تعداد مشاهدات منهای یکپارچه از تعداد مشاهدات برای به دست آوردن میانگین مربع به این دلیل است که از "درجه آزادی" باید استفاده شود. در این شرایط آنها یکی کمتر از کل هستند. توجیه نظری برای این کار لازم نیستدر عمل کاربر را مشکل کنید.)

برای به دست آوردن یک احساس شهودی برای مدرک آزادی ، انتخاب شکلات را از یک جعبه شکلات N در نظر بگیرید. هر بار که برای انتخاب یک شکلات انتخاب می کنیم ، یک انتخاب داریم ، تا اینکه به آخرین مورد (معمولاً یکی با مهره در آن!) برسیم ، و بعد چاره ای نداریم. بنابراین ما گزینه های N-1 یا "درجه آزادی" داریم.

محاسبه واریانس در جدول 2. 1 با 15 قرائت در مطالعه اولیه غلظت سرب ادرار نشان داده شده است (جدول 1. 2). خوانش ها در ستون (1) تنظیم شده است. در ستون (2) تفاوت بین هر خواندن و میانگین ثبت می شود. مجموع اختلافات 0. در ستون (3) اختلافات مربع است و مجموع آن مربع ها در پایین ستون داده می شود.

مجموع مربع های اختلافات (یا انحراف) از میانگین ، 9. 96 ، اکنون بر اساس تعداد کل مشاهده منهای یک تقسیم شده است تا واریانس را ارائه دهد.

که از آن ما این روش را دریافت می کنیم ، ساختار انحراف استاندارد را نشان می دهد ، به ویژه که دو مقدار شدید 0. 1 و 3. 2 بیشترین میزان را در جمع اختلافات مربع نقش دارند.

روش ماشین حساب < pan> محاسبه واریانس در جدول 2. 1 با 15 قرائت در مطالعه اولیه غلظت سرب ادرار نشان داده شده است (جدول 1. 2). خوانش ها در ستون (1) تنظیم شده است. در ستون (2) تفاوت بین هر خواندن و میانگین ثبت می شود. مجموع اختلافات 0. در ستون (3) اختلافات مربع است و مجموع آن مربع ها در پایین ستون داده می شود.

مجموع مربع های اختلافات (یا انحراف) از میانگین ، 9. 96 ، اکنون بر اساس تعداد کل مشاهده منهای یک تقسیم شده است تا واریانس را ارائه دهد.

که از آن ما این روش را دریافت می کنیم ، ساختار انحراف استاندارد را نشان می دهد ، به ویژه که دو مقدار شدید 0. 1 و 3. 2 بیشترین میزان را در جمع اختلافات مربع نقش دارند.

محاسبه رویه ماشین حساب واریانس در جدول 2. 1 با 15 قرائت در مطالعه اولیه غلظت سرب ادراری نشان داده شده است (جدول 1. 2). خوانش ها در ستون (1) تنظیم شده است. در ستون (2) تفاوت بین هر خواندن و میانگین ثبت می شود. مجموع اختلافات 0. در ستون (3) اختلافات مربع است و مجموع آن مربع ها در پایین ستون داده می شود.

مجموع مربع های اختلافات (یا انحراف) از میانگین ، 9. 96 ، اکنون بر اساس تعداد کل مشاهده منهای یک تقسیم شده است تا واریانس را ارائه دهد.

که از آن ما این روش را دریافت می کنیم ، ساختار انحراف استاندارد را نشان می دهد ، به ویژه که دو مقدار شدید 0. 1 و 3. 2 بیشترین میزان را در جمع اختلافات مربع نقش دارند.

روش ماشین حساب

بیشتر ماشین حساب های ارزان قیمت دارای رویه هایی هستند که با استفاده از حالت "SD" به طور مستقیم می توانند میانگین و انحرافات استاندارد را محاسبه کنند. به عنوان مثال ، در ماشین حساب های مدرن Casio ، یک تغییر و ‘." و یک نماد کوچک "SD" باید در صفحه نمایش ظاهر شود. در Casios قبلی ، یکی از Inv و Mode را فشار می دهد ، در حالی که باید از یک F و STAT تیز 2 استفاده شود. داده ها از طریق دکمه M+ ذخیره می شوند. بنابراین ، با قرار دادن ماشین حساب در حالت "SD" یا "Stat" ، از جدول 2. 1 ما 0. 1 متر+ ، 0. 4 متر+ و غیره را وارد می کنیم. وقتی تمام داده ها وارد می شوند ، می توانیم بررسی کنیم که تعداد صحیح مشاهدات توسطShift و N و "15" باید نمایش داده شوند. میانگین با تغییر و انحراف استاندارد توسط تغییر و تغییر نشان داده می شود. از فشار دادن تغییر و AC بین این عملیات خودداری کنید زیرا این امر حافظه آماری را پاک می کند. دکمه دیگری در بسیاری از ماشین حساب ها وجود دارد. این از تقسیم کننده n به جای N - 1 در محاسبه انحراف استاندارد استفاده می کند. روی یک ماشین حساب تیز مشخص شده است ، در حالی که مشخص شده است. اینها ارزشهای "جمعیت" هستند و با فرض اینکه کل جمعیت در دسترس است یا اینکه علاقه فقط به داده های موجود متمرکز است ، مشتق می شوند و نتایج به تعمیم نمی شوند (برای جزئیات بیشتر در مورد نمونه ها و جمعیت ها به فصل 3 مراجعه کنید). از آنجا که این وضعیت به ندرت بوجود می آید ، باید مورد استفاده قرار گیرد و نادیده گرفته شود ، اگرچه حتی برای اندازه های نمونه متوسط ، تفاوت آن کوچک خواهد بود. به یاد داشته باشید که قبل از از سرگیری محاسبات به حالت عادی برگردید زیرا بسیاری از کارکردهای معمول در حالت "Stat" در دسترس نیستند. در یک کاسیو مدرن این تغییر شکل 0 است. در Casios قبلی و در Sharps ، دنباله ای را که حالت "stat" فراخوانی می کند تکرار می کند. برخی از ماشین حساب ها حتی در هنگام خاموش شدن در حالت "Stat" باقی می مانند. مول (1) مشاوره در مورد انتخاب و استفاده از ماشین حساب ارائه می دهد. فرمول های ماشین حساب از رابطه استفاده می کنند

بیان دست راست را می توان به راحتی با بیان میانگین مربعات منهای میانگین مربع به یاد آورد. "واریانس نمونه از

معادله فوق می تواند در جدول 2. 1 ، که در آن جمع مربع مشاهدات ، به صورت 43. 7 لیتر صادق است.

همان مقدار داده شده برای کل در ستون (3). باید مراقب باشید زیرا این فرمول شامل کم کردن دو عدد بزرگ برای به دست آوردن یک مورد کوچک است و در صورت تعداد بسیار زیاد می تواند منجر به نتایج نادرست شود. به عنوان مثال ، سعی کنید انحراف استاندارد 100001 ، 100002 ، 100003 را روی یک ماشین حساب پیدا کنید. پاسخ صحیح 1 است ، اما بسیاری از ماشین حساب ها به دلیل خطای گرد ، 0 را می دهند. راه حل این است که تعداد زیادی از هر یک از مشاهدات را کم کنید (مثلاً 100000) و انحراف استاندارد در باقیمانده ها ، یعنی 1 ، 2 و 3 را محاسبه کنید.

انحراف استاندارد از داده های گروهی

ما همچنین می توانیم یک انحراف استاندارد را برای متغیرهای کمی گسسته محاسبه کنیم. به عنوان مثال ، علاوه بر مطالعه غلظت سرب در ادرار 140 کودک ، پزشک متخصص اطفال پرسید که چند بار در طول سال هر یک از آنها توسط پزشک معاینه شده است. پس از جمع آوری اطلاعات ، داده های نشان داده شده در جدول 2. 2 ستون (1) و (2) را جدول بندی کرد. میانگین با ضرب ستون (1) توسط ستون (2) ، اضافه کردن محصولات و تقسیم بر تعداد کل مشاهدات محاسبه می شود. جدول 2. 2

همانطور که برای داده های مداوم انجام دادیم ، برای محاسبه انحراف استاندارد ، هر یک از مشاهدات را به نوبه خود مربع می کنیم. در این حالت ، مشاهده تعداد بازدیدها است ، اما به دلیل اینکه ما در هر کلاس چندین کودک داریم که در ستون (2) نشان داده شده است ، هر عدد مربع (ستون (4)) ، باید با تعداد کودکان ضرب شود. مجموع مربع ها در پای ستون (5) ، یعنی 1697 آورده شده است. ما سپس از فرمول ماشین حساب برای یافتن واریانس استفاده می کنیم: و از این رو که اگرچه تعداد بازدیدها به طور معمول توزیع نمی شود ، توزیع به طور منطقی متقارن در موردمنظور داشتن. دامنه تقریبی 95 ٪ توسط این دو کودک بدون مراجعه و شش کودک با شش یا بیشتر بازدید می کند. بنابراین هشت مورد از 140 = 5. 7 ٪ در خارج از محدوده نظری 95 ٪ وجود دارد. توجه داشته باشید که متغیرهای کمی گسسته که آنچه را به عنوان skeweddistristions شناخته می شود ، وجود دارد ، یعنی آنها متقارن نیستند. یک سرنخ عدم تقارن از آمار مشتق شده زمانی است که میانگین و میانگین تفاوت قابل توجهی دارند. نکته دیگر زمانی است که انحراف استاندارد از همان اندازه از میانگین است ، اما مشاهدات باید غیر منفی باشند. گاهی اوقات یک تحول ، توزیع کمرنگ را به یک متقارن تبدیل می کند. هنگامی که داده ها شمارش می شوند ، مانند تعداد مراجعه به پزشک ، اغلب تبدیل ریشه مربع به شما کمک می کند ، و در صورت عدم وجود مقادیر صفر یا منفی ، یک تحول لگاریتمی توزیع را متقارن تر می کند.

تبدیل داده ها

یک بیهوشی درد یک روش را با استفاده از مقیاس آنالوگ 100 میلی متر بینایی در هفت بیمار اندازه گیری می کند. نتایج در جدول 2. 3 ، همراه با اطلاعات مربوط به ورود به سیستم (دکمه LN روی ماشین حساب) آورده شده است. جدول 2. 3

داده ها در شکل 2. 2 ترسیم شده اند ، که نشان می دهد در داده های ورود به سیستم بسیار زیاد به نظر نمی رسد. میانگین و میانگین برای داده های اصلی به ترتیب 10. 29 و 2 است ، با انحراف استاندارد 20. 22. در جایی که میانگین از میانه بزرگتر باشد ، توزیع مثبت است. برای داده های وارد شده ، میانگین و میانگین به ترتیب 1. 24 و 1. 10 هستند ، نشان می دهد که داده های وارد شده دارای توزیع متقارن تر هستند. بنابراین بهتر است داده های تبدیل شده وارد شده در تست های آماری را از استفاده از مقیاس اصلی تجزیه و تحلیل کنیم. شکل 2. 2

در گزارش این نتایج ، میانگین داده های خام داده می شود ، اما باید توضیح داد که آزمایش آماری بر روی داده های تبدیل شده انجام شده است. توجه داشته باشید که میانگین داده های وارد شده برابر با ورود به سیستم داده های خام است - با این حال ، این برای میانگین صحیح نیست. میانگین داده های وارد شده لزوماً برابر با ورود به میانگین داده های خام نیست. آنتیلوگ (exp یا در ماشین حساب) از میانگین داده های ورود به سیستم به عنوان میانگین هندسی شناخته می شود و اغلب یک آمار خلاصه بهتر از میانگین داده های توزیع مثبت است. برای این داده ها میانگین هندسی در 3. 45 میلی متر.

بین افراد و در درون افراد انحراف معیار

اگر اندازه گیری های مکرر از آن انجام شود ، مثلاً فشار خون بر روی یک فرد ، این اندازه گیری ها احتمالاً متفاوت است. این در یک موضوع یا درون intraceject است و ما می توانیم انحراف استاندارد این مشاهدات را محاسبه کنیم. اگر مشاهدات به موقع به هم نزدیک باشند ، این انحراف استاندارد اغلب به عنوان خطای اندازه گیری توصیف می شود. اندازه گیری های انجام شده در افراد مختلف با توجه به تنوع بین موضوع یا Intersubject متفاوت است. اگر بسیاری از مشاهدات در مورد هر فرد انجام شده باشد ، و میانگین گرفته شده باشد ، می توانیم فرض کنیم که تغییرپذیری داخل بدن به طور متوسط انجام شده است و تغییر در مقادیر متوسط صرفاً مربوط به تنوع بین Intersubject است. مشاهدات منفرد در مورد افراد به وضوح حاوی ترکیبی از تنوع Intersubject و IntraSubject است. ضریب تنوع (CV ٪) انحراف استاندارد درون زا است که بر اساس میانگین تقسیم می شود و به عنوان درصد بیان می شود. این اغلب به عنوان معیار تکرارپذیری برای سنجش های بیوشیمیایی نقل می شود ، هنگامی که یک روش در چندین نوبت در همان نمونه انجام می شود. این مزیت را دارد که مستقل از واحدهای اندازه گیری ، بلکه معایب نظری بی شماری باشد. استفاده از ضریب تغییر به عنوان اندازه گیری بین تنوع موضوع ، معمولاً مزخرف است.

سوالات رایج

این یک سوء تفاهم متداول است که برای داده های توزیع شده به طور عادی از میانگین استفاده می کند ، و برای داده های غیر عادی توزیع شده ، از میانه استفاده می کند. افسوس این چنین نیست: اگر داده ها به طور معمول توزیع شوند ، میانگین و میانگین نزدیک خواهد بود. اگر داده ها به طور معمول توزیع نشده باشند ، ممکن است میانگین و میانگین اطلاعات مفیدی را ارائه دهد. متغیری را در نظر بگیرید که مقدار 1 را برای مردان و 0 برای زنان می گیرد. این به وضوح به طور عادی توزیع نمی شود. با این حال ، میانگین نسبت مردان در گروه را نشان می دهد ، در حالی که میانه صرفاً به ما می گوید کدام گروه بیش از 50 ٪ از افراد را شامل می شود. به طور مشابه ، اگر می توان به دسته های سفارش داده شده نمرات معنی داری داده شد ، میانگین متغیرهای طبقه بندی شده سفارش داده شده می تواند مفیدتر از مدیان باشد. به عنوان مثال ، یک سخنرانی ممکن است به عنوان 1 (ضعیف) به 5 (عالی) رتبه بندی شود. آمار معمول برای جمع بندی نتیجه می تواند میانگین باشد. در شرایطی که یک گروه کوچک در یک توزیع توزیع (به عنوان مثال ، درآمد سالانه) وجود دارد ، سپس میانه "نماینده" توزیع خواهد بود. داده های من باید مقادیر بیشتری از صفر داشته باشند و در عین حال میانگین و انحراف استاندارد تقریباً به همان اندازه است. چگونه این اتفاق می افتد؟اگر داده ها توزیع بسیار کمتری داشته باشند ، انحراف استاندارد به شدت تورم خواهد شد و اندازه گیری خوبی برای استفاده نیست. همانطور که نشان دادیم ، گاهی اوقات تحول داده ها ، مانند تبدیل log ، توزیع را متقارن تر می کند. از طرف دیگر ، محدوده interquartile را نقل کنید.

منابع

1. Mullee M A. نحوه انتخاب و استفاده از ماشین حساب. در: نحوه انجام آن 2. گروه انتشارات BMJ ، 1995: 58-62.