حساب های اولیه حساب: حساب انتگرال و چند متغیره برای علوم اجتماعی

هر دو شرایط پیوستگی و فاصله بسته باید از قضیه اساسی حساب استفاده کنند ، و در این حالت ، ( ds int_a^b f (x) ، dx ) منطقه خالص را در زیر (f (x) نشان می دهد.) از (a ) تا (b text )

ما با مثالی شروع می کنیم که کورکورانه با استفاده از قضیه اساسی حساب می تواند نتیجه نادرستی را ارائه دهد.

مثال 2. 51. با استفاده از FTC.

توضیح دهید که چرا ( ds int_^1 frac ، dx ) برابر با (-2 متن نیست<.>)

در اینجا نحوه ادامه کار آمده است:

با این حال ، پاسخ فوق اشتباه است! از آنجا که (f (x) = 1/x^2 ) روی مداوم نیست ([-1 ،~1] متن ) ما نمی توانیم مستقیماً قضیه اساسی حساب را اعمال کنیم. به طور شهودی ، می توانیم ببینیم که چرا (-2 ) با نگاه کردن به نمودار (f (x) = 1/x^2 ) پاسخ صحیحی نیست ([-1 ،~1] متن<.>) به نظر می رسد منطقه سایه دار بدون محدودیت در شکل زیر رشد می کند.

رسمیت این مثال منجر به مفهوم یک انتگرال نادرست می شود. دو روش برای گسترش قضیه اساسی حساب وجود دارد. یکی استفاده از یک فاصله نامحدود ، یعنی ، ([a ، infty) text ) ((- infty ، b] ) یا ((- infty ، infty) text<.>) دوم این است که فاصله ([a ، b] ) حاوی ناپیوستگی نامتناهی (f (x) text باشد<.>) در هر دو حالت ، انتگرال به عنوان یک انتگرال نادرست خوانده می شود. یکی از مهمترین کاربردهای این مفهوم ، توزیع احتمال است زیرا تعیین مقادیر مانند توزیع تجمعی یا مقدار مورد انتظار معمولاً به فواصل نامتناهی نیاز به یکپارچه سازی دارد.

زیرمجموعه 2. 7. 1 انتگرال های نادرست: محدودیت های نامتناهی ادغام

برای محاسبه انتگرال های نادرست ، ما از مفهوم محدودیت ها به همراه قضیه اساسی حساب استفاده می کنیم.

تعریف 2. 52. انتگرال های نادرست - یک حد بی نهایت ادغام.

اگر (f (x) ) روی ([a ، infty) text ) مداوم باشد ، سپس انتگرال نادرست (f ) بیش از ([a ، infty) ) است

اگر (f (x) ) روی ((- infty ، b] text ) مداوم باشد ، سپس انتگرال نادرست (f ) بیش از ((- infty ، b] ) است

از آنجا که ما با محدودیت ها سر و کار داریم ، ما علاقه مند به همگرایی و واگرایی از انتگرال نادرست هستیم. اگر حد وجود داشته باشد و یک شماره محدود باشد ، ما می گوییم انتگرال نادرست. در غیر این صورت ، ما می گوییم انتگرال نادرست ، که در تعریف زیر ضبط می کنیم.

تعریف 2. 53. همگرایی و واگرایی.

اگر حد وجود داشته باشد و یک شماره محدود باشد ، ما می گوییم انتگرال نادرست.

اگر حد ( pm infty ) باشد یا وجود ندارد ، ما می گوییم انتگرال نادرست است.

برای به دست آوردن یک تفسیر بصری (هرچند کاملاً صحیح) از انتگرال های نادرست ، ما سعی می کنیم ( ds int_a^ Infty f (x) ، dx ) را به صورت گرافیکی تجزیه و تحلیل کنیم. در اینجا فرض کنید (f (x) ) روی ([a ، infty) text ) مداوم است

ما اجازه می دهیم (r ) یک عدد ثابت در ([a ، infty) text باشد<.>) سپس با استفاده از حد مجاز به (r ) ( infty text ) ما این انتگرال نادرست را دریافت می کنیم:

ما می توانیم قضیه اساسی حساب را به آخرین انتگرال اعمال کنیم زیرا (f (x) ) در بازه بسته مداوم است ([[a ، r] text<.>)

ما بعد انتگرال نادرست را برای فاصله تعریف می کنیم ((- infty ،~ Infty) متن<.>)

تعریف 2. 54. انتگرال های نادرست - دو محدودیت نامتناهی ادغام.

تعریف فوق به هر دو انتگرال نیاز دارد

مثال 2. 55. نادرست انتگرال - یک حد بی نهایت ادغام.

تعیین کنید که آیا ( ds int_1^ Infty frac ، dx ) همگرا یا واگرا است.

با استفاده از تعریف برای انتگرال های نادرست ، ما این را به صورت زیر می نویسیم:

بنابراین ، انتگرال واگرا است.

مثال 2. 56. انتگرال نادرست - دو محدودیت نامتناهی ادغام.

تعیین کنید که آیا ( ds int_<-infty>^ Infty x sin (x^2) ، dx ) همگرا یا واگرا است.

ما باید هر دو ( ds int_0^ Infty x sin (x^2) ، dx ) و ( ds int_ را محاسبه کنیم.<-infty>^0 x sin (x^2) ، dx text<.>) توجه داشته باشید که ما لازم نیست که انتگرال را در (0 text ) تقسیم کنیم. ابتدا ما انتگرال نامحدود را محاسبه می کنیم. بگذارید (u = x^2 text ) سپس (du = 2x ، dx ) و از این رو ،

با استفاده از تعریف انتگرال نادرست:

شروع شروع int_0^ Infty x sin (x^2) ، dx amp = lim_ int_0^r x sin (x^2) ، dx = lim_ Left [ - frac cos (x^2) RIGHT] bigg | _0^r \ amp = - frac lim_ cos (r^2) + frac پایان پایان

این حد وجود ندارد زیرا ( cos x ) بین (-1 ) و (+1 متن نوسان می کند<.>) به طور خاص ، ( cos x ) به هیچ مقدار خاصی نزدیک نمی شود زیرا (x ) بزرگتر و بزرگتر می شود. بنابراین ، ( ds int_0^ Infty x sin (x^2) ، dx ) واگرایی می کند ، و از این رو ، انتگرال ( ds int_<-infty>^ infty x sin (x^2) ، dx ) واگرایی می کند.

زیرمجموعه 2. 7. 2 انتگرال های نادرست: ناپیوستگی

هنگامی که یک ناپیوستگی در ([A ، B] ) یا در یک نقطه پایانی وجود دارد ، انتگرال نادرست به شرح زیر است.

تعریف 2. 57.

اگر (f (x) ) روی ([a ، b) text ) مداوم باشد ، سپس انتگرال نادرست (f ) بیش از ([a ، b) ) است

تعریف 2. 53 در مورد همگرایی و واگرایی از یک انتگرال نادرست در اینجا نیز وجود دارد: اگر حد فوق وجود داشته باشد و یک عدد محدود باشد ، ما می گوییم همگرایی نادرست است. در غیر این صورت ، ما می گوییم که واگرایی نادرست است.

هنگامی که یک ناپیوستگی در قسمت داخلی ([A ، B] Text ) وجود دارد ، از تعریف زیر استفاده می کنیم.

تعریف 2. 58. انتگرال های نادرست - دیسونیت های موجود در بازه ادغام.

اگر (f ) ناپیوستگی در (x = c ) داشته باشد که در آن (c in [a ، b] text ) و هر دو ( ds int_a^c f (x) ، dx )و ( ds int_c^b f (x) ، dx ) همگرا هستند ، سپس (f ) بیش از ([a ، b] ) است

باز هم ، ما می توانیم با تجزیه و تحلیل ( ds int_a^b f (x) ، dx ) یک حس بصری از این مفهوم بدست آوریم. در اینجا فرض کنید (f (x) ) روی ((a ، b] ) مداوم است اما در (x = a text ) ناپیوسته است

ما اجازه می دهیم (r ) یک عدد ثابت در ((a ، b) text باشد<.>) سپس با نزدیک شدن به حد ((R ) از سمت راست (A ) از سمت راست ، ما را به صورت نامناسب دریافت می کنیم:

اکنون می توانیم FTC را برای آخرین انتگرال اعمال کنیم زیرا (f (x) ) روی ([r ، b] text مداوم است<.>)

مثال 2. 59. یک انتگرال واگرا.

تعیین کنید که آیا ( ds int_^1 frac ، dx ) همگرا یا واگرا است.

تابع (f (x) = 1/x^2 ) ناپیوستگی در (x = 0 text ) دارد که در ([-1،1] text قرار دارد<.>) ما باید ( ds int_^0 frac ، dx ) و ( ds int_0^1 frac ، dx متن را محاسبه کنیم.<.>) بیایید با ( ds int_0^1 frac ، dx text ) شروع کنیم

که به (+ infty متن متفاوت است<.>) بنابراین ، ( ds int_^1 frac ، dx ) واگرایی است زیرا یکی از ( ds int_^0 frac ، dx ) و ( ds int_0^1 frac ، dx ) واگرا است.

مثال 2. 60. انتگرال لگاریتم.

تعیین کنید که آیا ( ds int_0^1 ln x ، dx ) همگرا یا واگرا است. اگر همگرا باشد ، آن را ارزیابی کنید.

توجه داشته باشید که (f (x) = ln x ) در نقطه پایانی ناپیوسته است (x = 0 متن<.>) ما ابتدا از ادغام قطعات برای محاسبه ( ds int ln x ، dx متن استفاده می کنیم<.>) ما اجازه می دهیم (u = ln x ) و (dv = dx text<.>) سپس (du = (1/x) dx text ) (v = x text ) ارائه:

int ln x ، dx amp = ds x ln x- int x cdot frac ، dx \ amp = x ln x- int 1 ، dx \ amp= x ln x-x+c پایان

اکنون با استفاده از تعریف یک انتگرال نادرست برای ( ds int_0^1 ln x ، dx text )

شروع int_0^1 ln x ، dx amp = lim_ int_r^1 ln x ، dx = lim_ (x ln x-x) bigg | _r^1 \ amp = - -1 - lim_ (r ln r) + lim_r پایان پایان

توجه داشته باشید که ( ds lim_r = 0 متن<.>) ما بعدی ( ds lim_ (r ln r) متن را محاسبه می کنیم<.>) اول ، ما عبارت را به شرح زیر بازنویسی می کنیم:

اکنون حد مجاز از نوع نامعین است ((- infty)/( infty) ) و قانون L'Hôpital قابل استفاده است.

و انتگرال همگرا به (-1 متن است<.>)

از نظر گرافیکی ، ممکن است این موضوع به این معنی باشد که منطقه خالص تحت ( ln x ) در ([0،1] ) (-1 ) است (منطقه در این مورد زیر (x قرار دارد.)-محور).

مثال 2. 61. انتگرال یک ریشه مربع.

Determine if (dsint_0^4frac>) همگرا یا واگرا است. اگر همگرا باشد ، آن را ارزیابی کنید.

Note that (frac>) در نقطه پایانی (x=4 ext) ناپیوسته است<.>) We use a (u)-substitution to compute (int frac> متن<.>) اجازه می دهیم (u=4-x ext) سپس (du=-dx ext) را بدهد:

Now using the definition of improper integrals for (dsint_0^4frac>متن)

مثال 2. 62. انتگرال نامناسب

تعیین کنید که (dsint_^dfrac<left( x-1 ight) ^<1/3>>) همگرا یا واگرا است. اگر همگرا باشد ، آن را ارزیابی کنید.

توجه داشته باشید که (fleft(x<left( x-1 ight) ^<1/3>>ight) =dfrac<.>) در نقطه پایانی (x=1 ext ناپیوسته است<left( x-1 ight) ^<1/3>> متن<.> متن<.>) اجازه می دهیم (u=x-1 ext شود

) سپس (du=dx ext) دادن< left( x-1 ight) ^>:)

اکنون از تعریف انتگرال نامناسب برای (dsint_^dfrac استفاده می کنیم<.>و انتگرال با (frac ext همگرا است<left( x-1 ight)^<1/3>>) از نظر گرافیکی، ممکن است کسی این را به این معنا تفسیر کند که ناحیه خالص زیر (dfrac<.>)