4. محدودیت

شما با محدودیت های محاسباتی توابع از حساب آشنا هستید. همانطور که ممکن است به یاد بیاورید ، یک تابع (f ) در یک نقطه (c ) محدودیت (l ) دارد اگر خروجی ها (f (x) ) به طور خودسرانه نزدیک به (l ) ورودی ها را فراهم کنند. (x ) به اندازه کافی نزدیک به (c ) هستند. اگرچه این مفهوم بصری است ، اما تعریف دقیقی از حد یک عملکرد ارائه خواهیم داد و تعریف را با محدودیت توالی ها مرتبط خواهیم کرد.

محدودیت توابع

به یاد بیاورید که هنگام محاسبه [ lim_ f (x) ] عملکرد (f ) لازم نیست در (x = c ) تعریف شود. دلیل این امر این است که بسیاری از محدودیت های مورد علاقه هنگامی بوجود می آیند که (f ) در (x = c ) تعریف نشود ، به عنوان مثال هنگام محاسبه مشتقات. با این حال ، برای اینکه مفهوم حد معقول باشد ، لازم است که (f ) برای نقاط خودسرانه نزدیک به (c ) تعریف شود. این به تعریف زیر انگیزه می دهد.

بگذارید (a subset real ). نقطه (c in real ) یک نقطه خوشه ای از (a ) نامیده می شود اگر برای هر مورد داده شده ( delta gt 0 ) حداقل یک نقطه (x در A ) وجود داشته باشد. برابر با (c ) به گونه ای که (| x-c | lt delta ).

توجه کنید که یک نقطه خوشه ای از مجموعه (a ) ممکن است یا ممکن است نقطه ای در (a ) باشد. ایده یک نقطه خوشه (c ) از (a ) این است که نقاط در (a ) وجود دارد که به طور خودسرانه نزدیک به (c ) هستند. به طور طبیعی ، نقاط خوشه ای را می توان با استفاده از محدودیت های توالی مشخص کرد.

یک نقطه (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) است اگر و فقط اگر یک توالی وجود داشته باشد ((x_n) ) در (a ) به گونه ای که (x_n neq c ) و ( DisplayStyle limi x_n = c ).

بگذارید (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) باشد و بگذارید ( delta_n = frac<1>)سپس ، (x_n در A ) ، (x_n neq c ) وجود دارد ، به گونه ای که (| x_n-c | lt delta_n ). از آنجا که ( delta_n RightArrow 0 ) ما آن را داریم ( lim x_n = c ). اکنون فرض کنید که ( lim x_n = c ) و (x_n neq c ) ، و ((x_n) ) در (a ) است. سپس برای هر ( delta gt 0 ) (k ) وجود دارد که (| x_n-c | lt delta ) برای همه (n geq k ). این ثابت می کند که (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) است.

• مجموعه (a = [0،1] ) را در نظر بگیرید. هر نقطه (C در A ) یک نقطه خوشه ای از (A ) است.
• از طرف دیگر ، برای (a = (0،1] ) ، نقطه (c = 0 ) یک نقطه خوشه ای از (a ) است اما متعلق به (a ) نیست.
• For (A=left\;|; ninN ight>) ، تنها نقطه خوشه (a ) (c = 0 ) است.
• یک مجموعه محدود هیچ امتیاز خوشه ای ندارد.
• مجموعه (a = n ) هیچ نقطه خوشه ای ندارد.
• مجموعه (a = mathbb cap [0،1] ) را در نظر بگیرید. با قضیه چگالی ، هر نقطه (c در [0،1] ) یک نقطه خوشه ای از (a ) است.

اکنون تعریف حد تابع (f:A

ightarrow

eal) را در نقطه خوشه (c) از (A) ارائه می دهیم. در این فصل، حرف (A) زیر مجموعه ای از (

eal) را نشان می دهد.

تابع (f:A

ightarrow<|x-1|^2>eal) را در نظر بگیرید و اجازه دهید (c) یک نقطه خوشه ای از (A) باشد. می گوییم که (f) در (c) حد دارد یا در (c) همگرا می شود، اگر عدد (Lin

eal) وجود داشته باشد به طوری که برای هر (varepsilon معینgt 0) (delta gt 0) وجود دارد به طوری که اگر (xin A) و (0 lt |x-c| lt delta) آنگاه (|f(x)-L| lt varepsilon). در این حالت، می نویسیم که [ lim_ f(x) = L ] و می گوییم که (f) در c به (L) همگرا می شود یا (f) دارای حد (L است.) در (c) . اگر (f) در (c) همگرا نباشد، می گوییم که در (c) واگرا می شود.

یکی دیگر از نمادهای کوتاه برای گفتن اینکه (f) به (L) در (c) همگرا می شود (f(x)<|x+1|> <|x+3|>ight arrow L) به صورت (x<|x+1|><|x+3|>ight arrow c) است. طبق تعریف، اگر (lim_f(x)=L)، پس برای هر (varepsilon gt 0) همسایگی (L)، یک همسایگی (delta gt 0) وجود دارد(c) به طوری که برای همه (xin (c-delta, c+delta)cap A) برابر (c) نیست درست است که (f(x)in (L-varepsilon, L+varepsilon)).<|x+3|>فرض کنید که (f(x)<|x+1|> <|x+3|>ightarrow L) و (f(x)<|x+1|> <|x+3|>ightarrow L') به صورت (x<|x+1|> <|x+3|>ightarrow c). اجازه دهید (varepsilon gt 0). سپس (delta gt 0) وجود دارد که (|f(x)-L| lt eps/2) و (|f(x)-L'| lt eps/2)، برای (0 lt |x-c| lt delta). سپس اگر (0 lt |x-c| lt delta) سپس شروع |L-L'|&leq |f(x)-L|+|f(x)-L'|\ & lt eps/2+eps/2\ & =eps. از آنجایی که (eps) دلخواه است، قضیه 2. 2. 7 دلالت بر این دارد که (L=L').

ما با تجزیه و تحلیل کمیت (|f(x)-L| شروع می کنیم: x08egin |5x+3-13|&= |5x-10|\ & = 5 |x-2|.end بنابراین، اگر (0 lt |x-2| lt eps/5) سپس x08egin |5x+3-13|&= 5|x-2|\ & lt 5 (eps/5)\ & = eps end

داریم که x08egin left|frac-frac

ight|&= چپ|fracراست|\[2ex] &= frac\[2ex] & lt |x-1|^2.end بگذارید (eps gt 0) دلخواه باشد و (delta=sqrt). سپس اگر (0 lt |x-1| lt delta) آنگاه (|x-1|^2 lt (sqrt)^2 = eps). بنابراین، اگر (0 lt |x-1| lt delta) سپس [ left|frac-frac

ight|lt |x-1|^2 lt eps.]

داریم که [ |x^2-c^2|= |x+c||x-c|.] با نابرابری مثلث، (|x+c| leq |x|+|c|) و بنابراین شروع |x^2-c^2|&= |x+c||x-c|\ & leq (|x|+|c|) |x-c|.end اکنون زمانی که (x) در (delta_1 gt 0) از (c) باشد یک کران برای (|x|+|c|) بدست می آوریم. بنابراین، فرض کنید که (0 lt |x-c| lt delta_1). سپس x08egin |x|&= |x-c+c|\ & leq |x-c|+ |c|\ & lt delta_1 + |c|end و بنابراین (|x+c|leq |x| + |c| lt delta_1 +2|c|). فرض کنید (eps gt 0) دلخواه است و اجازه دهید (delta=min\). سپس اگر (0 lt |x-c| lt delta) آنگاه (|x+c| lt delta_1+2|c|) و بنابراین شروع |x^2-c^2|&=|x+c||x-c|\ & lt (delta_1+2|c|) delta\ & leq (delta_1+2|c|) eps/(delta_1+2|c|)\ & = eps.پایان

داریم که x08egin left|frac - 2

ight|&=چپ|fracراست|\[2ex] &= چپ|fracراست|\[2ex] &= frac<1>|x-6|.end اکنون یک کران برای (frac

) وقتی (x) به (6) نزدیک است. فرض کنید که (|x-6| lt 1). سپس (5 lt x lt 7). بنابراین، (6 lt x+1 lt 8)، و بنابراین (|x+1| lt 8). به طور مشابه، اگر (|x-6| lt 1) پس (8 lt x+3 lt 10) و بنابراین (8 lt |x+3|) و بنابراین (frac<1>lt frac). بنابراین، اگر (|x-6| lt 1) آنگاه [ frac<1><pi/2+npi>lt 8cdot frac=1.] فرض کنید (eps gt 0) دلخواه است و اجازه دهید (delta=min\). اگر (0 lt |x-6| lt delta) پس از بالا آن (frac را داریم<1><alpha+2npi>lt 1)، و به وضوح (|x-6|leq eps). بنابراین، اگر (0 lt |x-6| lt delta) سپس x08egin left|frac - 2

ight|&= frac|x-6|\ & lt |x-6|\ & leq eps.end این به اثبات پایان می دهد.نتیجه مهم زیر بیان می کند که محدودیت های توابع را می توان با استفاده از محدودیت های دنباله ها مطالعه کرد.<|x|>اجازه دهید (f:Aightarrow

eal) یک تابع باشد و اجازه دهید (c) یک نقطه خوشه ای از (A) باشد. سپس (lim_ f(x) =L) اگر و فقط اگر برای هر دنباله ((x_n)) در (A) همگرا به (c) دنباله ((f(x_n))) به (L) همگرا می شود (با (x_n

eq c)).

1. فرض کنید (f(x)
2. ightarrow L) به صورت (x
3. ight arrow c). فرض کنید ((x_n)) یک دنباله در (A) باشد که به (c) همگرا می شود، با (x_n

eq c). اجازه دهید (eps) داده شود. سپس (delta gt 0) وجود دارد که اگر (0 lt |x-c| lt delta) آنگاه (|f(x)-L| lt eps). اکنون، از آنجایی که ((x_n) فلش راست c)، (KinN) وجود دارد که (|x_n-c| lt delta) برای همه (ngeq K) وجود دارد.. بنابراین، برای (ngeq K) داریم که (|f(x_n)-L| lt eps). این ثابت می کند که (lim_

f (x_n) = l ). برای اثبات مکالمه ، ما ضد انعطاف پذیر را اثبات می کنیم. از این رو ، ما نشان می دهیم که اگر (f ) به (l ) همگرا نشود ، یک دنباله ((x_n) ) در (a ) وجود دارد (با (x_n neq c )) همگرابه (c ) اما دنباله ((f (x_n)) ) به (l ) همگرا نمی شود. سپس فرض کنید که (f ) به (l ) همگرا نمی شود. سپس ( eps gt 0 ) وجود دارد برای همه ( delta gt 0 ) وجود دارد (x ) به گونه ای که (0 lt | x-c | lt delta ) و ((| f (x) -l | geq eps ). بگذارید ( delta_n = tfrac ). سپس (x_n neq c ) وجود دارد که (0 lt | x_n-c | lt delta_n ) و (| f (x_n) -l | geq eps ). از این رو ((x_n) راست C ) اما (f (x_n) ) به (l ) همگرا نمی شود.بگذارید (f: a rightarrow real ) یک تابع باشد و بگذارید (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) باشد و اجازه دهید (l in real ). سپس (f ) به (l ) در (c ) همگرا نمی شود اگر و فقط در صورت وجود توالی ((x_n) ) در (a ) همگرا (c ) ، با (x_n neq c ) ، و به گونه ای که (f (x_n) ) به (l ) همگرا نمی شود.توجه داشته باشید که در نتیجه قبلی ، اگر دنباله ((f (x_n)) ) واگرایی کند ، به وضوح به هیچ (l in real ) همگرا نمی شود و سپس (f ) محدودیتی ندارددر (C ). در صورت کاربرد ، نتیجه گیری زیر ابزاری مفید برای اثبات وجود محدودیت یک عملکرد است.

1. بگذارید (f: A RightArrow Real ) یک تابع باشد و بگذارید (C ) یک نقطه خوشه ای از (A ) باشد. فرض کنید که ((x_n) ) و ((y_n) ) توالی در (a ) همگرا به (c ) ، با (x_n neq c ) و (y_n neq c ) هستند). اگر (f (x_n) ) و (f (y_n) ) همگرا شوند اما ( displayStyle limi f (x_n) neq limi f (y_n) ) سپس (f ) نداردمحدود کردن در (C ).
2. (x_n = frac را در نظر بگیرید
3. ) ، که به وضوح به (c = 0 ) و (x_n neq 0 ) همگرا می شود. سپس (f (x_n) = n ) که همگرا نمی شود.

1. بگذارید (f (x) = sin سمت چپ ( tfrac
2. درست)). دنباله (x_n = frac را در نظر بگیرید
3. )واضح است که ((x_n) راست 0 ) و (x_n neq 0 ) برای همه (n ). اکنون ((f (x_n)) = (-1،1 ، -1 ، -1 ، ldots ،) ) و بنابراین ((f (x_n)) ) همگرا نمی شوند. بنابراین ، (f ) هیچ محدودیتی در (c = 0 ) ندارد. در واقع ، برای هر ( alpha در [0،2 pi) ) ، دنباله (x_n = frac

)واضح است که ((x_n) راست 0 ) و (x_n neq 0 ) برای همه (n ). اکنون ، (f (x_n) = sin ( alpha+2n pi) = sin ( alpha) ). از این رو ، ((f (x_n)) ) به ( sin ( alpha) ) همگرا می شود. این نشان می دهد که (f ) در فاصله زمانی ([-1 ، -1] ) به عنوان (x ) نوسان می کند (c = 0 ).

متن

(x) ) تابع به عنوان [ متن تعریف شده است

(x) = شروع frac

، & text \ [2ex] 0 ، & text end ] ثابت کنید که ( lim_ text<|f(c)|, eps + |L|>(x) ) وجود ندارد.

بگذارید (x_n = frac ). سپس ((x_n) RightArrow 0 ) و (x_n neq 0 ) برای همه (n ). اکنون ، (y_n = text (x_n) = (-1)^n ). واضح است ، ((y_n) ) همگرا نمی شود و بنابراین ( text ) هیچ محدودیتی در (c = 0 ) ندارد.<1>) defined on the set (A=(0,infty)). Clearly, (c=0) is a cluster point of (A). For any (delta gt 0) and any (M gt 0) let (xin A) be such that (0 lt x lt min\>تمرینات<1> ( displayStyle lim_ frac = 3 )<1> ( displayStyle lim_ frac = 2 )

( displayStyle lim_ | x-3 | = 1 )

1. بگذارید (a subset real ) ، اجازه دهید (f: a reightarrow real ) ، و فرض کنید که (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) است. فرض کنید که یک ثابت (k gt 0 ) وجود دارد که (| f (x) -l | leq k | x-c | ) برای همه (x در A ). ثابت کنید که ( displayStyle lim_ f (x) = l ).
2. عملکرد [f (x) = را در نظر بگیرید
3. x^2 sin (1/x) ، & x in mathbb backslash hspace \ [2ex] frac ، & x notin mathbb end

] ثابت کنید که ( lim_ f (x) = 0 ).

1. ثابت کنید که (f ) محدودیتی در (c = 0 ) دارد.
2. حال فرض کنید که (c neq 0 ). ثابت کنید که (f ) هیچ محدودیتی در (c ) ندارد.

تعریف (g: real rightarrow real ) توسط (g (x) = (f (x))^2 ). ثابت کنید که (g ) در هر (c in real ) محدودیتی دارد.

( lim_ frac )

( lim_ (x+ text (x)) )

( lim_ sin (1/x^2) )

قضیه

ما ابتدا نشان می دهیم که اگر (f ) محدودیتی در (c ) داشته باشد ، به صورت محلی در (c ) محدود می شود. ما ابتدا تعریف می کنیم که به معنای محدود بودن محلی است.

بگذارید (f: a rightarrow real ) و بگذارید (c ) یک نقطه خوشه ای از (a ) باشد. ما می گوییم که (f ) به صورت محلی در (c ) محدود می شود اگر وجود داشته باشد ( delta gt 0 ) و (m gt 0 ) به گونه ای که اگر (x in (c- Delta ، C+ Delta) cap a ) سپس (| f (x) | leq m ).

بگذارید (f: A RightArrow Real ) یک تابع باشد و بگذارید (C ) یک نقطه خوشه ای از (A ) باشد. اگر ( displayStyle lim_f (x) ) وجود داشته باشد ، (f ) به صورت محلی در (c ) محدود می شود.

بگذارید (l = lim_ f (x) ) و بگذارید ( eps gt 0 ) دلخواه باشد. سپس ( delta gt 0 ) وجود دارد که (| f (x) -l | lt eps ) برای همه (x in a ) به گونه ای که (0 lt | x-c | lt delta ). بنابراین ، برای همه (x in a ) و (0 lt | x-c | lt delta ) ما آن را داریم که شروع | f (x) |& = | f (x) -l+l | \ & leq | f (x) -l |+ | l | \ & lt eps + | l |. پایان اگر (c in a ) سپس اجازه دهید (m = max ) و اگر (c notin a ) سپس اجازه دهید (m = eps+| l | ). سپس (| f (x) | leq m ) برای همه (x in a ) به گونه ای که (0 lt | x-c | lt delta ) ، یعنی (f ) استبه صورت محلی در (C ) محدود شد.دوباره عملکرد (f (x) = frac را در نظر بگیرید

)سپس (0 lt x lt frac

) ، یعنی (m lt frac

eq c)).

اکنون ما قوانین محدود را برای کارکردها در نظر می گیریم. بگذارید (f ، g: a rightarrow real ) توابع باشد و را شروع کنید (f pm g) (x) & = f (x) pm g (x) \ [2ex] (fg) (fg) (fg) (fg)x) & = f (x) g (x) \ [2ex] سمت چپ ( frac راست) (x) & = frac end که در آن برای نسبت (f/g ) ما به آن نیاز داریم ((g (x) neq 0 ) برای همه (x در A ).

( displayStyle lim_ (f pm g) (x) = l pm m )

( displayStyle lim_ (fg) (x) = lm )

( displayStyle lim_ سمت چپ ( frac راست) (x) = frac ) ، اگر (m neq 0 )