خصوصیات عملکردهای مثلثاتی معکوس

خصوصیات توابع مثلث معکوس بر اساس دامنه و دامنه توابع است. چند خاصیت عملکرد مثلث معکوس وجود دارد که نه تنها مشکلات را حل می کنند بلکه درک عمیق تری از این مفهوم نیز دارند. برای یادآوری ، توابع مثلثی معکوس "توابع قوس" نیز نامیده می شوند. برای یک مقدار معین از یک عملکرد مثلثاتی ؛آنها طول قوس مورد نیاز برای به دست آوردن آن مقدار خاص را تولید می کنند. دامنه یک تابع معکوس به عنوان دامنه مقادیر عملکرد معکوس تعریف شده است که می تواند با دامنه تعریف شده عملکرد بدست آید. دامنه یک تابع به عنوان مجموعه ای از هر متغیر مستقل ممکن که در آن عملکرد وجود دارد تعریف می شود. توابع مثلثات معکوس در یک بازه خاص تعریف می شوند.

دامنه و دامنه عملکردهای معکوس

با توجه به دامنه و دامنه توابع معکوس ، فرمول های زیر قابل ذکر است:

• گناه (گناه 1 x) = x ، اگ ر-1 ≤ x ≤ 1
• cos (cos −1 x) = x ، i f-1 ≤ x ≤ 1
• برنزه (برنزه −1 x) = x ، اگر -∞ ≤ x ≤∞
• cot (cot −1 x) = x ، if -≤ x ≤
• sec (sec −1 x) = x ، if -∞ ≤ x ≤ -1 یا 1 ≤ x ≤
• cosec (cosec −1 x) = x ، if -∞ ≤ x ≤ -1 یا 1 ≤ x ≤

همچنین ، فرمول های زیر برای عملکردهای مثلثات معکوس تعریف شده اند.

• sin −1 (sin y) = y ، i f-π/2 ≤ y ≤ π/2
• cos −1 (cos y) = y ، اگر 0 ≤ y ≤ π
• برنزه −1 (برنزه y) = y ، i f-π/2
• cot −1 (cot y) = y اگر 0
• sec −1 (sec y) = y ، اگر 0 ≤ y ≤ π ، y ≠ π/2
• cosec −1 (cosec y) = y i f-π/2 ≤ y ≤ π/2 ، y ≠ 0

خصوصیات مهم عملکردهای مثلثاتی معکوس

خصوصیات ابتدایی توابع مثلثات معکوس به حل مشکلات کمک می کند. در اینجا چند ویژگی مهم مربوط به توابع مثلثات معکوس وجود دارد:

مجموعه املاک 1:

• sin −1 (x) = cosec −1 (1/x) ، x∈ [−1،1] -
• cos −1 (x) = sec −1 (1/x) ، x ∈ [−1،1] -
• Tan −1 (x) = cot −1 (1/x), if x >0 (یا) تخت −1 (1/x) −π ، اگر x< 0

• Cot −1 (x) = tan −1 (1/x), if x >0 (یا) برنزه −1 (1/x) + π ، اگر x< 0

مجموعه املاک 2:

• SIN −1 (−x) = −sin −1 (x)
• برنزه −1 (−x) = −tan −1 (x)
• cos −1 (−x) = π - cos −1 (x)
• cosec −1 (−x) = - cosec −1 (x)
• se c-1 (−x) = π - sec −1 (x)
• cot −1 (−x) = π - cot −1 (x)

اثبات:

1. SIN −1 (−x) = −SIN −1 (x)

بگذارید گناه −1 (−x) = y ، یعنی ، - x = sin y

sin −1 (x) = −y = −sin −1 (−x)

بنابراین ، SIN −1 (−x) = −sin −1 (x)

به طور مشابه ، با استفاده از همان مفهوم زیر می توان به دست آورد:

• cosec −1 (−x) = −cosec −1 x ، | x | ≥1
• برنزه −1 (−x) = −tan −1 x ، xϵr

2. cos −1 (−x) = π - cos −1 (x)

بگذارید cos −1 (−x) = y یعنی ، −x = cos y

⇒ x = −cos y = cos ( π-y)

cos −1 (x) = π-cos −1 (−x)

بنابراین ، cos −1 (−x) = π-cos −1 (x)

به طور مشابه با استفاده از همان مفهوم زیر می توان به دست آورد:

• sec −1 (−x) = π-sec −1 x ، | x | ≥1
• cot −1 (−x) = π-cot −1 x ، xϵr

مجموعه املاک 3:

• SIN −1 (1/x) = COSEC −1 x ، x≥1 یا x≤ - 1
• cos −1 (1/x) = se c-1 x ، x≥1 یا x≤ - 1
• برنزه −1 (1/x) = −π + cot −1 (x)

اثبات: SIN −1 (1/x) = COSEC −1 x ، x≥1 یا x≤ - 1

بگذارید cosec −1 x = y ، یعنی x = cosec y

بنابراین ، گناه 1 (1/x) = y

SIN −1 (1/x) = COSEC −1 x

به طور مشابه با استفاده از همان مفهوم ، نتایج دیگر را می توان بدست آورد.

تصاویر:

• SIN −1 (⅓) = COSEC −1 (3)
• cos −1 (¼) = se c-1 (4)
• SIN −1 (−¾) = COSEC −1 (−4/3) = SIN −1 (3/4)
• برنزه −1 (−3) = cot −1 (−⅓) −π

مجموعه املاک 4:

• sin −1 (cos θ) = π/2 - θ ، اگر θ∈ [0 ، π]
• cos −1 (sin θ) = π/2 - θ ، اگر θ∈ [−π/2 ، π/2]
• برنزه −1 (cot θ) = π/2 - θ ، θ∈ [0 ، π]
• cot −1 (برنزه θ) = π/2 - θ ، θ∈ [−π/2 ، π/2]
• sec −1 (cosec θ) = π/2 - θ ، θ∈ [−π/2 ، 0] ∪ [0 ، π/2]
• cosec −1 (sec θ) = π/2 - θ ، θ∈ [0 ، π] -
• sin −1 (x) = cos −1 [√ (1 - x 2)] ، 0≤x≤1

مثال ها

1. با توجه به ، cos −1 (−3/4) = π - sin −1 A. پیدا کردن A.

راه حل:

نمودار را از بیانیه سؤال بکشید.

cos −1 (−3/4) = π - sin −1 (√7/4)

2. cos −1 (¼) = SIN −1 √ (1 - 1/16) = SIN −1 (√15/4)

3. SIN −1 (−½) = −cos −1 √ (1 - ¼) = −cos −1 (√3/2)

4. گناه 2 (برنزه −1 (¾)) = گناه 2 (گناه −1 (⅗)) = (⅗) 2 = 9/25.

5. SIN −1 (SIN 2π/3) = π/3

6. cos −1 (cos 4π/3) = 2π/3

7. SIN −1 (COS 33π/10) = SIN −1 COS (3π + 3π/10) = SIN −1 (−SIN (π/2 - 3π/10)) = - (π/2 - 3π/10) = −π/5