14. 5 نوسان در مدار LC

شایان ذکر است که هر دو خازن و سلف به ترتیب در زمینه های برقی و مغناطیسی خود انرژی را ذخیره می کنند. یک مدار حاوی سلف (L) و خازن (C) می تواند بدون تغییر انرژی ذخیره شده در مدار بین میدان های الکتریکی و مغناطیسی بدون منبع EMF نوسان کند. بنابراین ، مفاهیمی که در این بخش توسعه می دهیم مستقیماً برای تبادل انرژی بین میدان های الکتریکی و مغناطیسی در امواج الکترومغناطیسی یا نور قابل استفاده است. ما با یک مدار ایده آل از مقاومت صفر شروع می کنیم که حاوی سلف و خازن ، یک مدار LC است.

مدار LC در شکل 14. 16 نشان داده شده است. اگر خازن قبل از بسته شدن سوئیچ ، شامل شارژ [لاتکس] _ [/لاتکس] باشد ، در ابتدا تمام انرژی مدار در میدان الکتریکی خازن ذخیره می شود (شکل 14. 16 (الف)). این انرژی است

[لاتکس]_=fracphantom>frac_^>. [/لاتکس]

هنگامی که سوئیچ بسته شد ، خازن شروع به تخلیه می کند و جریان را در مدار تولید می کند. جریان ، به نوبه خود ، یک میدان مغناطیسی در سلف ایجاد می کند. تأثیر خالص این فرآیند انتقال انرژی از خازن ، با کاهش میدان الکتریکی آن ، به سلف ، با افزایش میدان مغناطیسی آن است.

در شکل 14. 16 (ب) ، خازن کاملاً تخلیه شده و تمام انرژی در میدان مغناطیسی سلف ذخیره می شود. در این لحظه ، جریان در حداکثر مقدار [لاتکس] _ [/لاتکس] است و انرژی موجود در سلف است

[لاتکس]_ = fracl _^. [/لاتکس]

از آنجا که هیچ مقاومت در مدار وجود ندارد ، هیچ انرژی از طریق گرمایش ژول از بین نمی رود. بنابراین ، حداکثر انرژی ذخیره شده در خازن برابر با حداکثر انرژی ذخیره شده در زمان بعدی در سلف است:

[لاتکس] frac<1>phantom>frac_^>= frac<1>l _^. [/لاتکس]

در یک زمان دلخواه که شارژ خازن Q (t) است و جریان I (t) است ، کل انرژی U در مدار توسط داده می شود

[لاتکس] frac<^left(t ight)>+frac^left(t ight)>. [/لاتکس]از آنجا که هیچ اتلاف انرژی وجود ندارد ،

[لاتکس] u = frac<1>phantom>frac^>+ frac<1>l^= frac<1>phantom>frac_^>= frac<1>l _^. [/لاتکس]

پس از رسیدن به حداکثر [لاتکس] _ ، [/لاتکس] I (t) فعلی به حمل و نقل بار بین صفحات خازن ادامه می دهد و از این طریق شارژ خازن را شارژ می کند. از آنجا که سلف در برابر تغییر در جریان مقاومت می کند ، جریان همچنان ادامه دارد ، حتی اگر خازن تخلیه شود. این ادامه جریان باعث می شود خازن با قطبیت مخالف شارژ شود. میدان الکتریکی خازن افزایش می یابد در حالی که میدان مغناطیسی سلف کاهش می یابد و اثر کلی انتقال انرژی از سلف به خازن است. از قانون حفاظت از انرژی ، حداکثر هزینه ای که مجدداً خازن صعود می کند [لاتکس] _ است.

هنگامی که به طور کامل شارژ شود ، خازن بار دیگر انرژی خود را به سلف منتقل می کند تا دوباره به طور کامل تخلیه شود ، همانطور که در شکل 14. 16 (D) نشان داده شده است. سپس ، در قسمت آخر این فرآیند چرخه ای ، انرژی به خازن باز می گردد و حالت اولیه مدار بازگردانده می شود.

ما مدار را از طریق یک چرخه کامل دنبال کرده ایم. نوسانات الکترومغناطیسی آن مشابه نوسانات مکانیکی یک جرم در انتهای یک چشمه است. در این مورد اخیر ، انرژی بین جرم ، که دارای انرژی جنبشی [لاتکس] m^ است ، به جلو و عقب منتقل می شود2 [/لاتکس] ، و بهار ، که دارای انرژی بالقوه [لاتکس] K^ TEXT است2 [/لاتکس]. با عدم وجود اصطکاک در سیستم بهار انبوه ، نوسانات به طور نامحدود ادامه می یابد. به طور مشابه ، نوسانات یک مدار LC بدون مقاومت در صورت عدم تحمل برای همیشه ادامه می یابد. با این حال ، این مدار LC با مقاومت در برابر صفر عملی عملی نیست ، و هر مدار LC حداقل مقاومت کمی خواهد داشت که با گذشت زمان تابش می کند و انرژی را از دست می دهد.

فرکانس نوسانات در یک مدار LC بدون مقاومت ممکن است با قیاس با سیستم بهار جرم پیدا شود. برای مدار ، [لاتکس] I سمت چپ (t راست) = DQ Left (t راست) متنdt [/لاتکس] ، کل انرژی الکترومغناطیسی U است

[لاتکس] u = frac<1>l^+ frac<1>phantom>frac^>. [/لاتکس]

برای سیستم بهار توده ، [لاتکس] v سمت چپ (t راست) = dx سمت چپ (t راست) متنdt [/لاتکس] ، کل انرژی مکانیکی e است

[لاتکس] e = frac<1>m^+ frac<1>K^. [/لاتکس]

هم ارزی این دو سیستم مشخص است. برای رفتن از مکانیکی به سیستم الکترومغناطیسی ، ما به سادگی M را توسط L ، V توسط I ، K توسط 1/ C و X توسط q جایگزین می کنیم. اکنون x (t) توسط

[latex]xleft(t ight)=Aphantom> متن سمت چپ ( omega t+ varphi راست) [/لاتکس]where [latex]omega =sqrtm>[/لاتکس] از این رو ، بار در خازن در یک مدار LC توسط

[لاتکس] q سمت چپ (t راست) =_phantom> متن سمت چپ ( omega t+ varphi راست) [/لاتکس]

جایی که فرکانس زاویه ای نوسانات در مدار است

[latex]omega =sqrt>. [/لاتکس]سرانجام ، جریان در مدار LC با استفاده از مشتقات زمان Q (t) یافت می شود:

[لاتکس] من سمت چپ (t راست) = frac= extomega _phantom> متن سمت چپ ( omega t+ varphi راست). [/لاتکس]

تغییرات زمان q و i در شکل 14. 16 (e) برای [لاتکس] varphi = 0 [/لاتکس] نشان داده شده است.

مثال

یک مدار LC

In an LC circuit, the self-inductance is [latex]2.0phantom>×phantom>^[/latex] H and the capacitance is [latex]8.0phantom>×phantom>^[/latex] F. At [latex]t=0,[/latex] all of the energy is stored in the capacitor, which has charge [latex]1.2phantom>×phantom>^[/لاتکس] C. (الف) فرکانس زاویه ای نوسانات موجود در مدار چیست؟(ب) حداکثر جریان جریان از طریق مدار چیست؟ج) چه مدت طول می کشد تا خازن کاملاً مرخص شود؟(د) معادله ای را پیدا کنید که نشان دهنده q (t) باشد.

استراتژی

فرکانس زاویه ای مدار LC با معادله 14. 41 آورده شده است. برای یافتن حداکثر جریان ، حداکثر انرژی در خازن برابر با حداکثر انرژی در سلف تنظیم می شود. زمان تخلیه خازن در صورت شارژ در ابتدا ، یک چهارم از دوره چرخه است ، بنابراین اگر مدت زمان نوسان را محاسبه کنیم ، می توانیم دریابیم که یک چهارم از این زمان چیست. در آخر ، با دانستن بار اولیه و فرکانس زاویه ای ، می توانیم یک معادله Cosine را برای یافتن Q (T) تنظیم کنیم.

راه حل

1. از معادله 14. 41 ، فرکانس زاویه ای نوسانات است

[لاتکس] frac<1>l _^= frac<1>phantom>frac_^>، [/لاتکس] [لاتکس] t = frac<2pi><omega>= frac<2pi><2.5phantom>×phantom>^phantom> ext>=2.5phantom>×phantom>^phantom> متن ، [/لاتکس] [لاتکس] q سمت چپ (0 راست) =_=_phantom> extphantom> varphi. [/لاتکس] بنابراین ، [لاتکس] varphi = 0 ، [/لاتکس] و

اهمیت

رابطه انرژی تنظیم شده در قسمت (ب) تنها راهی نیست که بتوانیم انرژیها را برابر کنیم. در بیشتر مواقع ، مقداری انرژی در خازن ذخیره می شود و مقداری انرژی در سلف ذخیره می شود. ما می توانیم هر دو اصطلاح را در هر طرف معادله قرار دهیم. با بررسی مدار فقط در صورت عدم وجود هزینه ای در خازن یا جریان در سلف ، معادله انرژی را ساده می کنیم.

درک خود را بررسی کنید

The angular frequency of the oscillations in an LC circuit is [latex]2.0phantom>×phantom>^[/latex] rad/s. (a) If [latex]L=0.10phantom> متن [/لاتکس] ، C چیست؟(ب) فرض کنید که در [لاتکس] t = 0 ، [/لاتکس] تمام انرژی در سلف ذخیره می شود. مقدار [لاتکس] varphi؟ [/لاتکس] (c) یک خازن یکسان دوم به موازات خازن اصلی متصل می شود. فرکانس زاویه ای این مدار چیست؟

راه حل نشان دادن

خلاصه

• The energy transferred in an oscillatory maer between the capacitor and inductor in an LC circuit occurs at an angular frequency [latex]omega =sqrt>[/لاتکس].
• شارژ و جریان در مدار توسط

[لاتکس] شروع کنیدhfill qleft(t ight)& =hfill & _phantom> extleft(omega t+varphi ight),hfill \ hfill ileft(t ight)& =hfill & extomega _phantom> متن سمت چپ ( omega t+ varphi راست). hfill end[/لاتکس]

سوالات مفهومی

آیا قوانین Kirchhoff در مورد مدارهایی که حاوی سلف و خازن هستند اعمال می شود؟

راه حل نشان دادن

آیا یک عنصر مدار می تواند دارای خازن و القاء باشد؟

در یک مدار LC ، چه چیزی فرکانس و دامنه نوسانات انرژی را در سلف یا خازن تعیین می کند؟

راه حل نشان دادن

دامنه نوسانات انرژی به انرژی اولیه سیستم بستگی دارد. فرکانس در یک مدار LC به مقادیر القا و ظرفیت بستگی دارد.

چالش ها و مسائل

یک خازن 5000 PF به 100 ولت شارژ می شود و سپس به سرعت به یک سلف 80 مگاواتی متصل می شود.(الف) حداکثر انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی سلف ، (ب) مقدار اوج جریان و (ج) فرکانس نوسان مدار را تعیین کنید.

خودآگاهی و خازن یک مدار LC 0. 20 MH و 5. 0 PF است. فرکانس زاویه ای که مدار در آن نوسان می کند چیست؟

راه حل نشان دادن

What is the self-inductance of an LC circuit that oscillates at 60 Hz when the capacitance is [latex]10phantom> mu text [/لاتکس]؟

In an oscillating LC circuit, the maximum charge on the capacitor is [latex]2.0phantom>×phantom>^phantom> متن [/لاتکس] و حداکثر جریان از طریق سلف 8. 0 میلی آمپر است.(الف) دوره نوسانات چیست؟(ب) چه مدت زمان بین یک لحظه که خازن بدون شارژ است و لحظه بعدی که به طور کامل شارژ می شود ، سپری می شود؟

راه حل نشان دادن

The self-inductance and capacitance of an oscillating LC circuit are [latex]L=20phantom> extphantom>C=1.0phantom> mu text ، [/لاتکس].(الف) فرکانس نوسانات چیست؟(ب) اگر حداکثر اختلاف پتانسیل بین صفحات خازن 50 ولت باشد ، حداکثر جریان در مدار چیست؟

در یک مدار LC نوسان کننده ، حداکثر بار در خازن [لاتکس] _ [/لاتکس] است. هنگامی که انرژی به طور مساوی بین میدان های الکتریکی و مغناطیسی به اشتراک گذاشته می شود ، بار در خازن و جریان را از طریق سلف تعیین کنید. پاسخ خود را از نظر [لاتکس] _ [/لاتکس] ، l و c بیان کنید.

راه حل نشان دادن

In the circuit shown below, [latex]>_[/latex] is opened and [latex]>_ [/لاتکس] همزمان بسته است.(الف) فرکانس نوسانات حاصل ، (ب) حداکثر بار در خازن ، (ج) حداکثر جریان از طریق سلف ، و (د) انرژی الکترومغناطیسی مدار نوسان را تعیین کنید.

یک مدار LC در یک تیونر AM (در یک استریو اتومبیل) از یک سیم پیچ با القاء 2. 5 م. ح ساعت و یک خازن متغیر استفاده می کند. اگر قرار است فرکانس طبیعی مدار در محدوده 540 تا 1600 کیلوهرتز (باند پخش AM) قابل تنظیم باشد ، چه طیف وسیعی از ظرفیت لازم است؟