هندسه فراکتال مناظر تناسب اندام در سطح Optima محلی

یک شبکه Optima محلی (LON) اتصال Optima محلی را در چشم انداز تناسب اندام یک مشکل بهینه سازی ترکیبی رمزگذاری می کند. به تازگی ، Lons برای بعد فراکتال آنها مورد مطالعه قرار گرفته است. ابعاد فراکتال یک شاخص پیچیدگی است که در آن می توان یک بعد غیر اینتگر را به یک الگوی اختصاص داد. در این مقاله به بررسی ماهیت فراکتال Lons و چگونگی ارتباط این طبیعت با عملکرد متهوریستی بر روی مشکل اساسی می پردازیم. ما از تجزیه و تحلیل بصری ، تجزیه و تحلیل همبستگی و تکنیک های یادگیری ماشین استفاده می کنیم تا نشان دهیم که روابط وجود دارد و ویژگی های فراکتالی LON ها می توانند در توضیح و پیش بینی عملکرد الگوریتم نقش داشته باشند. نتایج نشان می دهد که میزان چند فداکاری و ابعاد فراکتال بالا در LON می تواند در هنگام قرار دادن در مدل های رگرسیون با سایر پیش بینی کننده ها ، از این طریق کمک کند. ویژگی ها همچنین به صورت جداگانه با عملکرد جستجو ارتباط دارند و تجزیه و تحلیل بصری LONS بینش این رابطه را نشان می دهد.

روی نسخه خطی کار می کنید؟

معرفی

فراکتال الگوهای حاوی قطعاتی شبیه به کل است (Mandelbrot 1972). براساس این تعریف ، فراکتال ها در سادگی پیچیده طبیعت ، از شبکه های رگ خونی میکروسکوپی گرفته تا الگوی ماکروسکوپی حلقه های کیوان فراگیر هستند. به نظر می رسد طبیعت و تکامل به نفع طراحی فراکتال است: استفاده از یک الگوی به طور مکرر امکان تکرارپذیری را با دستورالعمل های بسیار کمی فراهم می کند. بعد فراکتال (Mandelbrot 1975) یک شاخص پیچیدگی است که چگونه جزئیات را در یک الگوی تغییر می دهد وقتی فرد با استفاده از وضوح یا مقیاس متفاوت مشاهده می کند. تجزیه و تحلیل ابعاد فراکتال در تصویربرداری تشخیصی مورد استفاده قرار گرفته است (تشخیص سرطان روده بزرگ (Esgiar و همکاران 2002) ؛ توصیف تصاویر در ماموگرافی (کالدول و همکاران 1990) ؛ توصیف سلولهای لوسمی (ماشیا و همکاران 2008) ، جستجو و نجات [تجزیهطرح موقعیت قربانی پس از فروپاشی (سعدی و سورنسن ، 2009)] و در مهندسی برای طراحی آنتن (ورنر و گانگولی 2003) ، در میان سایر افراد بی شماری. فضا. در واقع ، ساختارهای انشعاب در ریه های انسان فضا را به روشی فراکتال پر می کنند ؛ به همین دلیل ، سطح معادل یک زمین تنیس در حجم ریه ها فشرده می شود. Uahabi و Atounti 2017) ، که نشانگر پیچیدگی و پیچیدگی مکانی بالا است.

مناظر تناسب اندام برخی از مشکلات بهینه سازی ترکیبی تحت یک لنز فراکتال مشاهده شده است (وینبرگر و استادلر 1993). مناظر تناسب اندام هم یک استعاره شفاف و هم یک شیء ریاضی هستند. آنها حاوی مجموعه ای از راه حل ها برای یک مشکل بهینه سازی ، تناسب اندام آن راه حل ها هستند (این موارد را می توان به عنوان ارتفاعات تجسم کرد) و تابعی برای اندازه گیری مجاورت بین راه حل ها. مطالعه معماری منظره تناسب اندام بینشی در مورد واکنش بین الگوریتم های متهوریستی و مشکلات ارائه می دهد. این می تواند به عنوان یک تخته سنگ برای طراحی یا انتخاب الگوریتم آگاه تر باشد.

اولین مطالعه برای انجام تجزیه و تحلیل فراکتال در مناظر تناسب اندام (وینبرگر و استادلر 1993) تصریح کرد که برای برخی از مشکلات ، مقیاس ناهمواری چشم انداز در سطوح مختلف انتزاع و این نشان دهنده ساختار فراکتالی است. مطالعات بعدی یافته های مشابهی را گزارش کرده اند (Zelinka et al. 2014 ؛ Locatelli 2005 ؛ Richter 2018) و برخی از آنها تأکید کرده اند که پتانسیل دروغگو در زمینه عمدتا دست نخورده تجزیه و تحلیل فراکتالی برای مناظر است.

یک شبکه Optima محلی (LON) (Ochoa و همکاران 2008) از Optima محلی و اتصال آنها در یک منظره تناسب اندام مدل می کند. یعنی گره ها به Optima محلی هستند و لبه ها انتقال جستجوی متهوریستی بین دو Optima محلی تحت یک عملیات جستجوی انتخاب شده است. شواهد قابل توجهی وجود دارد که نشان می دهد ویژگی های LON ها می توانند با عملکرد الگوریتم متهوریستی بر روی مسئله ترکیبی اساسی ارتباط برقرار کنند ، یا پیش بینی کنند (Daolio et al. 2010 ؛ Daolio et al. 2011 ؛ Verel et al. 2011 ؛ Herrma et al.. 2016 ؛ Ochoa and Veerapen 2018 ؛ Ochoa و همکاران 2017).

اطلاعات کمی در مورد پیچیدگی فراکتال در LONS و چگونگی ارتباط ماهیت فراکتال آنها با عملکرد الگوریتم متهوریستی شناخته شده است. کار مقدماتی نشان داده است که بعد فراکتال ممکن است ارتباطی با جستجو داشته باشد (تامسون و همکاران 2018a ؛ تامسون و همکاران 2018). گفته می شود ، مطالعه دوم فقط نمونه های مشکل کوچک را در نظر می گیرد (اندازه N = 18 برای یک مشکل رمزگذاری شده باینری ، مناظر NK). اولین مطالعه ذکر شده در مورد مسئله تکالیف درجه دوم (QAP) است و آنها برخی از معیارهای معیار از Qaplib (Burkard و همکاران 1997) را تا N = 28 (تامسون و همکاران 2018a) در نظر می گیرند ، اگرچه فقط دو کلاس از چندین کتاب این کتابخانهبرای این محدوده اندازه مشکل گنجانده شده است. در نتیجه ، تجزیه و تحلیل فراکتال فقط در 25 نمونه QAPLIB انجام می شود.

ما قصد داریم درک روابط بین هندسه فراکتال در LONS و عملکرد الگوریتم متهوریستی را روشن کنیم. QAP به عنوان یک آزمایشگاه برای تجزیه و تحلیل عمل می کند و ما از نمونه های QAPLIB استفاده می کنیم و تعداد مواردی را که در مقایسه با کارهای قبلی در نظر گرفته شده است ، افزایش می دهد (تامسون و همکاران 2018a) و افزایش حداکثر اندازه مشکل از 28 به 50. یک LON اخیر و تصفیه شدهالگوریتم ساخت و ساز (Ochoa و Herrma 2018) برای ساخت هوشمندانه برای موارد QAPLIB استفاده می شود. ویژگی های LONS ، از جمله ویژگی های ابعاد فراکتال ، محاسبه می شود و موازی بین آنها و عملکرد با استفاده از ابزارهای بصری ، تجزیه و تحلیل همبستگی و مدلهای رگرسیون جنگل خطی و تصادفی بررسی می شود.

سهم این مقاله می تواند به شرح زیر باشد:

ما بینش جدیدی در مورد چگونگی هندسه چند عاملی در سطح Optima محلی می توانیم به توضیح و پیش بینی عملکرد الگوریتم کمک کنیم

گسترش قابل توجهی از مجموعه داده های مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل فراکتال در LONS (با استفاده از بیش از 3 برابر تعداد قبلی نمونه های Qaplib و افزایش N ( le ) 28 تا n ( le ) 50 ، و همچنین استفاده از یکالگوریتم نمونه گیری تصفیه شده و آزمایش شده اخیر برای ساخت LONS)

تکنیک های آماری پیشرفته برای اعتبار مناسب استفاده از تجزیه و تحلیل فراکتال LON برای توضیح و پیش بینی الگوریتم (جنگل تصادفی برای مدل غیر خطی ؛ اعتبار سنجی متقاطع مکرر تصادفی ؛ با استفاده از پیش بینی کننده های قابل فهم مانند میزان چند فرفری و ابعاد Fractal متوسط).

مقاله به شرح زیر است: فرقه. 2 حاوی اطلاعات لازم برای پیش زمینه برای ارائه این مقاله به خود اختصاص داده شده است. فرقه3 جزئیات جنبه های روش مورد استفاده ؛فرقه4 مجموعه آزمایشی را با فرقه ارائه می دهد. 5 ارائه نتایج ؛سرانجام ، فرقه6 مقاله را با نتیجه گیری و راهنمایی برای کارهای آینده به پایان می رساند.

مقدمات

مناظر تناسب اندام

یک منظره تناسب اندام (Stadler 2002) از سه قسمت تشکیل شده است ، ((S ، n ، f) ): S مجموعه راه حل کامل است. (n: s longrightarrow 2^) به عنوان عملکرد محله شناخته می شود و مجموعه ای از راه حل های مجاور (n (s) ) را به هر (s in s ) اختصاص می دهد. و f یک تابع تناسب اندام است (F: S LongrightArrow<mathbb >) که نقشه برداری از محلول تا تناسب اندام مرتبط را فراهم می کند. این تناسب اندام می تواند به عنوان ارتفاع محلول در استعاره منظره مفهوم سازی شود.

تجزیه و تحلیل اشیاء چشم انداز تناسب اندام می تواند درک جدی از مشکلات بهینه سازی و واکنش آنها با الگوریتم های متهوریستی ارائه دهد (Pitzer and Affenzeller 2012). در واقع ، از مناظر برای تسهیل در انتخاب الگوریتم (Hoos et al. 2004) ، انتخاب اپراتور (Merz and Freisleben 2000) و تنظیم پارامتر استفاده شده است (Hutter et al. 2007).

شبکه های Optima محلی

مدل محلی Optima Network (LON) (Ochoa و همکاران 2008) به عنوان ابزاری برای مطالعه اتصال به Optima محلی در یک منظره تناسب اندام معرفی شد و متعاقباً مهارت در کمک به توضیح پویایی جستجوی متهوریستی را نشان داده است (Chicano et al. 2012؛ هرمان و همکاران 2016 ؛ مکمنمی و همکاران 2018). ما قبل از توصیف مدل به عنوان یک کل ، اجزای یک لون را تعریف می کنیم.

گره هامجموعه گره ها به Optima محلی هستند ، به این معنی که یک گره (lo_i ) با توجه به کل محله از آمادگی جسمانی برتر برخوردار است. به طور رسمی: ( forall: ) (f (lo_i) le f (n) ) (با فرض به حداقل رساندن) که در آن (n (lo_i) ) محله و n همسایه است.

Edges. An edge is delineated between two nodes if the probability of ”escape” from the source local optimum to the destination is greater than zero. The ”escape” is defined with respect to a chosen search operation (or sequence of operations). The edge is weighted with the probability as (w_) . Formally local optima (lo_i) and (lo_j) comprise the source and destination of an edge respectively iff (w_>0 ). در این کار از نمونه برداری استفاده می شود. در نتیجه ، گره ها لزوماً با مجموعه کامل لبه های بالقوه آنها همراه نیستند.

Local optima network (LON). A local optima network, LON = ( LO , E ), consists of nodes (lo_i in LO) which are the local optima, and edges (e_ in E) between pairs of nodes (lo_i) and (lo_j) with weight (w_) iff (w_>0 ). ما در اینجا اظهار داشتیم که (w_ ) ممکن است متفاوت از (w_ ) باشد. از این رو به دو وزن مورد نیاز است و یک LON یک نمودار گرا و وزنی است.

بعد فراکتال

مفهوم یک بعد فراکتال برای الگوهای توسط ماندلبروت (1975) تصور شد و به عنوان یک شاخص پیچیدگی تعریف شده است که چگونه جزئیات موجود در الگوی را با وضوح استفاده شده برای اندازه گیری آن تغییر می دهد. بعد فراکتال را می توان به عنوان نسبت بین لگاریتم جزئیات و لگاریتم مقیاس مورد استفاده محاسبه کرد:

برای درک اینکه بعد فراکتال یک شکل به چه معنی است ، می توانیم با تجدید نظر در اشکال آشنا مرتبط با بعد توپولوژیکی شروع کنیم: یک خط یک بعدی. یک مربع دو بعدی ؛یک مکعب سه بعدی.

ما می توانیم رابطه بین مقیاس و جزئیات را برای یک مربع در شکل 1 مشاهده کنیم. در ابتدا به شکل 1a نگاه می کنیم که در آن مقیاس طول M برای اندازه گیری یکی (طول یک طرف مربع) است ، جزئیات اندازه گیری شده دقیقاً یک مربع استوادحرکت به شکل 1b مشاهده می کنیم که مقیاس طول m = ( frac ) در اینجا استفاده می شود (این یک عامل مقیاس دو است زیرا وضوح دو برابر خوب است). این منجر به اندازه گیری چهار نسخه کوچکتر از مربع بزرگتر می شود. مقیاس دو و جزئیات چهار است. به طور مشابه ، هنگامی که M یک چهارم از طول یک طرف مربع است (ضریب مقیاس چهار ؛ شکل 1C را ببینید) این منجر به شانزده نسخه از مربع بزرگتر می شود که مقیاس چهار و جزئیات شانزده را ارائه می دهد. رابطه (4^x = 16 ) که در آن x بعد می تواند به ( frac ) تبدیل شود ، یعنی نسبت بین جزئیات و مقیاس که در این حالت دو است. مربع دو بعدی است زیرا برای هر مقیاس جزئیات مشاهده شده (مقیاس^) خواهد بود.

رابطه بین جزئیات و مقیاس برای یک مربع ؛m طول مقیاس است که برای اندازه گیری استفاده می شود

برای برخی از الگوهای ، نماینده X یک عدد صحیح نیست بلکه در جایی دیگر در خط شماره واقعی است. در این حالت ، نحوه تغییر جزئیات با وضوح نمی تواند با بعد توپولوژیکی ضبط شود. نمونه ای از این امر را می توان در شکل 2 با مثلث Sierpinski مشاهده کرد.

شکل 2A نشان می دهد که وقتی از یک عامل مقیاس M یکی استفاده می شود ، بر این اساس الگوی کامل را اندازه گیری می کنیم. اگر وضوح دو برابر را افزایش دهیم همانطور که در شکل 2b سه نسخه کوچکتر از مثلث بزرگ اندازه گیری شده است. با یادآوری اینکه بعد فراکتال را می توان با حل کردن برای x معادله (مقیاس^= جزئیات ) بدست آورد ، مشاهده می کنیم که x در اینجا یک عدد صحیح نیست. معادله (2^ = 3 ) است که منجر به ابعاد فراکتال x = ( sim ) 1. 585 می شود.

ابعاد فراکتال می تواند در به دست آوردن اطلاعات مکانی و هندسی در مورد سیستم های دنیای واقعی اثربخشی داشته باشد. به عنوان مثال ، از آنها در مهندسی برای تشخیص ترک در سازه های صفحه استفاده شده است (Hadjileontiadis و Douka 2007). در زیست شناسی برای توصیف شکنجه مسیرهای حیوانات (Dicke and Burrough 1988) ؛و همچنین در پزشکی برای توصیف الگوهای ماموگرافی (کالدول و همکاران 1990) و تشخیص سرطان روده بزرگ (Esgiar و همکاران 2002).

رابطه بین جزئیات و مقیاس برای یک فراکتال با ابعاد توپولوژیکی دو و بعد فراکتال ( sim ) 1. 585

در مطالعه ما در حال محاسبه ابعاد فراکتال بر روی LONS برای به دست آوردن اطلاعات پیچیدگی مکانی در مورد مناظر تناسب اندام هستیم. یک روش گسترده برای تخمین بعد فراکتال برای یک شبکه پیچیده ، الگوریتم "شمارش جعبه" است (سونگ و همکاران 2005). این "جعبه ها" با هم گره هایی که در لبه های شبکه M از یکدیگر قرار دارند ، با هدف توصیف شبکه با استفاده از چند جعبه "جعبه". پارامتر M مقیاس اندازه گیری مورد استفاده است و به عنوان مخرج در Eq استفاده می شود. 1 برای به دست آوردن بعد فراکتال در کنار تعداد "جعبه های" مورد نیاز برای پوشاندن شبکه ، که مقدار جزئیات مشاهده شده است. در مرحله اول ، گره های "مرکز" در ابتدا به عنوان آنهایی که بهترین ها در شبکه متصل هستند مشخص می شوند. گره هایی که در فاصله بیش از لبه های M به گره مرکز نیستند ، سپس به عنوان "تحت پوشش" مشخص می شوند و به "جعبه" مرتبط با مرکز اضافه می شوند. این روند تا زمانی که همه گره ها یا "پوشانده" یا گره های مرکزی باشند ، ادامه می یابد. این بدان معناست که هر جا که گره نتواند با توجه به هر یک از مراکز "پوشانده شود" ، خود به یک مرکز تبدیل می شود. در مرحله دو مسافت اصلی برای همه گره ها محاسبه می شود. این - برای هر گره - نزدیکترین فاصله تا یک مرکز است. پس از آن ، هویت عضویت "جعبه" هر گره غیر مرکز به یک همسایه که به یک گره مرکز نزدیکتر است تغییر می یابد. گره اصلی برداشته می شود.

در پایان فرآیند تعداد "جعبه های" مورد نیاز برای پوشش کامل شبکه ، که ما از آن به عنوان MB یاد می کنیم ، تعداد واحدهای جزئیات مشاهده شده هنگام استفاده از مقیاس وضوح M است. ما می توانیم با قرار دادن MB و M در Eq ، بعد فراکتال را برای شبکه بدست آوریم. 1:

پیچیدگی فراکتال در شبکه های Optima محلی قبلاً با استفاده از شمارش جعبه محاسبه شده است (تامسون و همکاران 2018a ؛ تامسون و همکاران 2018). الگوریتم شمارش جعبه در تامسون و همکاران تغییر یافت.(2018) برای تخصص در Lons. برای اینکه دو گره به عنوان یک "واحد" از جزئیات "جعبه" شوند ، آنها باید یک لبه واحد از هم جدا شوند یا در لبه های M از یکدیگر قرار بگیرند و همچنین دارای فاصله تناسب اندام کمتر از یک آستانه تنظیم شده هستند ( epsilon ).

یک مطالعه بعدی مکانیسم های اضافی را برای محاسبات و در نتیجه تعریف ابعاد فراکتال یک LON ارائه داد (تامسون و همکاران 2018a). یک نوع شمارش جعبه که در طی فرآیند از وزن لبه های لون استفاده می کرد. در یک وزن لبه LON احتمال وجود مسیر جستجو بین Optima محلی را نشان می دهد. نوع شمارش جعبه که به عنوان معیارهای "بوکس" استفاده می شود که دو گره دارای یک لبه واحد بین آنها هستند که با احتمال بیشتر از ( بتا ) وزن دارند. نویسندگان از مقادیر به دست آمده با استفاده از این روش به عنوان ابعاد فراکتالی احتمالی یاد کردند.

در سیستم های پیچیده در دنیای واقعی ، یک بعد فراکتال گاهی اوقات می تواند برای گرفتن پیچیدگی کافی نباشد (ماندلبروت و همکاران 1997). تجزیه و تحلیل یکپارچه مانند شمارش جعبه که در ابتدا توضیح داده شد ، بر این فرض است که پیچیدگی فراکتال تقریباً یکنواخت در الگوی است. مشخص شده است که برخی از شبکه ها چند منظوره هستند (سونگ و همکاران 2015 ؛ Furuya و Yakubo 2011). در یک مطالعه قبلی از یک الگوریتم چند منظوره در LONS استفاده شده است (تامسون و همکاران 2018a) و ما این کار را در آزمایشات خود مستقر می کنیم. این فرآیند طیف وسیعی از ابعاد فراکتال را برای یک الگوی واحد ایجاد می کند (در مورد ما). جزئیات و کد شبه برای الگوریتم بعداً در فرقه ها ارائه می شود. 3. 3 و 4. 3.

روش شناسی

مشکل تعیین درجه دوم

تجزیه و تحلیل ما در مورد مسئله تکالیف درجه دوم بسیار مورد مطالعه (QAP) (Lawler 1963) انجام شده است که اغلب در تجزیه و تحلیل چشم انداز تناسب اندام مورد استفاده قرار می گیرد (Merz and Freisleben 2000 ؛ Merz 2004 ؛ Daolio et al. 2011 ؛ Pitzer and Affenzeller 2012 ؛ Verel et al.. 2018). یک نمونه QAP با یک ماتریس فاصله و یک ماتریس جریان مشخص شده است. ورودی در ماتریس فاصله ، (d_ ) فاصله بین دو مکان است: (d (l_ ، l _) ). در ماتریس جریان این جریان بین دو مورد است: (f (i_ ، i _) ). راه حل ها به عنوان جایگشت به طول n رمزگذاری می شوند و تخصیص موارد N به مکان N هستند. تناسب اندام یک راه حل محصول مسافت و جریان بین مکان ها و موارد با توجه به جابجایی است و هدف به حداقل رساندن است. عملکرد تناسب اندام ، g ، برای یک راه حل (x ) سپس (g (x) = sum _^n sum _^n d_f_ ، forall x in s ) است.

ساخت LONS نمونه

الگوریتم های نمونه برداری LON به طور کلی در بالای یک الگوریتم بهینه سازی موجود تقویت می شوند. ما در اینجا با این روند هماهنگ هستیم و یک الگوریتم ساخت و ساز اخیراً معرفی شده را انتخاب می کنیم که به یک ILS با ورود به سیستم LON برای QAP می پیوندد (Ochoa و Herrma 2018).

الگوریتم ILS بار از راه حل های شروع تصادفی مستقل اجرا می شود. در فرآیند ILS ، بهینه سازی محلی یک تبادل زوج از موارد است که آشفتگی آن مبادلات زوجی K است. هر زمان که نمونه برداری ILS هیچ حرکتی بهبود از محلول فعلی را تشخیص نمی دهد ، محلول به عنوان یک گره بهینه محلی اضافه می شود - این تقریب ساختار واقعی است ، زیرا الگوریتم وجود نقاط زین را در نظر نمی گیرد. فقط بهبود یا تناسب اندام برابر محلی بهینه پذیرفته می شود. از این رو نتیجه می گیرد که ممکن است در هنگام نمونه گیری ، فلات های Optima محلی مورد بررسی قرار گیرند. هنگامی که یک فلات محلی Optima وجود دارد ، این به طور پیش فرض فرو ریخته نمی شود. فلات ها گاهی اوقات برای تسهیل استخراج برخی از ویژگی های LON و ارزیابی بی طرفی موجود فرو می ریزند. فلات های LON در آماده سازی برای تجزیه و تحلیل چند عاملی در این کار ، و همچنین برای تسهیل محاسبه ویژگی های قیف و تعداد ویژگی های Optima محلی فشرده شرح داده شده در فرقه ، فروپاشیده می شوند. 4. 5هر محلی بهینه که در هنگام جستجو مشاهده می شود در مجموعه گره های LO در کنار تناسب اندام خود ذخیره می شود ، و اگر دو Optima L 1 و L 2 توسط یک چرخه ILS (جستجوی محلی و به دنبال اختلالات K) در طول جستجو متصل شوند ، یک لبه (E_ (E_)) در Lon Edge-set ، ه. گره ها لبه هایی هستند که در طول R انجام می شوند تا یک شبکه Optima محلی واحد را برای مثال مشکل تشکیل دهند. تمام پارامترهای الگوریتم بعداً در فرقه بیان شده است.~4. 2

الگوریتم های تجزیه و تحلیل فراکتال

ما ذکر کردیم که الگوریتم شمارش جعبه قبلاً برای مورد خاص یک شبکه Optima محلی تخصص داشته است (تامسون و همکاران 2018). در این صورت ، آنها اجازه می دادند گره ها "جعبه" شوند اگر فاصله (d (n_ ، n _) ) = 1 یا (d (n_ ، n_)

تجزیه و تحلیل ابعاد چند عاملی

فرآیند محاسبه ابعاد چند عاملی با شمارش جعبه استاندارد متفاوت است و طیفی از ابعاد فراکتال برای یک الگوی واحد تولید می کند. یک رویکرد الگوریتم Sandbox (لیو و همکاران 2015) نامیده می شود که در آن چندین گره به طور تصادفی به عنوان "مراکز" ماسهبازی انتخاب می شوند. اعضای ماسه جعبه ها محاسبه می شوند زیرا گره ها از مرکز c جدا هستند. پس از آن متوسط اندازه ماسهبازی محاسبه می شود. این روش برای مقادیر مختلف R که شعاع ماسهبازی است ، تکرار می شود. برای تسهیل در تولید طیف ابعاد ، کل فرآیند برای چندین عدد واقعی با ارزش خودسرانه تکرار می شود که پارامتری را که ما می نامیم ، ارائه می دهند. الگوریتم Sandbox در یک مطالعه قبلی تخصصی و اصلاح شده بود که متناسب با LONS باشد (تامسون و همکاران 2018a) و این فرایندی است که ما برای آزمایش های آنالیز فراکتال خود استفاده می کنیم. در نسخه ما از الگوریتم یک گره n می تواند در "ماسه جعبه" یک گره مرکزی C در صورتی باشد که فاصله (d (n ، c) ) = 1 یا (d (n ، c) = - 1) و (| (f (n) -f (c)) |<epsilon) . Pseudocode is given in Algorithm 1.